Pertidaksamaan Trigonometri: Cara Penyelesaian & Contoh Soal

Pertidaksamaan trigonometri sering menjadi bagian dari soal-soal ujian seperti Ujian Tulis Berbasis Komputer (UTBK) dan ujian matematika lainnya. Meski begitu, topik ini tidak perlu membuat kamu merasa khawatir atau kebingungan, karena di artikel ini, kita akan membahas apa itu pertidaksamaan trigonometri, bagaimana cara menyelesaikannya, serta beberapa contoh soal untuk membantu kamu memahami konsep ini lebih baik. Yuk, kita mulai!

Apa Itu Pertidaksamaan Trigonometri?

Secara umum, pertidaksamaan trigonometri adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi trigonometri seperti sinus (sin), cosinus (cos), dan tangen (tan). Berbeda dengan persamaan yang menggunakan tanda “=” (sama dengan), pertidaksamaan menggunakan simbol seperti “>”, “<“, “≥”, dan “≤”.

Pertidaksamaan trigonometri dapat terlihat dalam berbagai bentuk, misalnya:

  • sin 𝑥 > 0, yang berarti kita mencari nilai x di mana fungsi sinus lebih besar dari nol.
  • cos 𝑥 ≤ ½, menunjukkan situasi di mana cosinus kurang atau sama dengan setengah.
  • tan 𝑥 ≥ 1, berarti kita mencari sudut di mana nilai tangen sama dengan atau lebih besar dari satu.

Kunci dalam menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri adalah memahami bagaimana fungsi-fungsi ini berperilaku dalam satu periode lengkap dan bagaimana kita bisa menggambar atau memvisualisasikan hasilnya untuk menemukan himpunan penyelesaian.

Baca selengkapnya: Penjelasan Sifat Trigonometri Sinus, Cosinus & Tangen

Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Trigonometri

Ada dua metode umum yang dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri: menggunakan grafik fungsi dan garis bilangan. Mari kita lihat kedua metode ini.

Menggunakan Grafik Fungsi

Metode ini melibatkan menggambar grafik fungsi trigonometri untuk memahami area di mana pertidaksamaan terpenuhi. Misalnya, jika kita ingin menyelesaikan pertidaksamaan sin 𝑥 > ½, kita dapat menggambar grafik y = sin 𝑥 dan melihat di mana nilai y lebih besar dari ½ dalam rentang tertentu.

Berikut adalah langkah-langkah yang bisa kamu ikuti:

  1. Gambar grafik fungsi yang relevan. Untuk contoh sebelumnya, kita menggambar grafik y = sin 𝑥 dalam rentang yang diminta.
  2. Tentukan batasan atau nilai acuan pada sumbu y yang menjadi titik referensi. Dalam contoh ini, batasannya adalah ½.
  3. Identifikasi bagian grafik yang memenuhi kondisi pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan menunjukkan “lebih besar”, cari area di mana grafik berada di atas batasan. Jika “lebih kecil”, cari area di bawah batasan.

Misalnya, untuk pertidaksamaan sin 𝑥 > ½ dalam rentang 0° hingga 360°, kita menemukan bahwa nilai sin 𝑥 di atas ½ pada sudut antara 30° hingga 150°. Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah {30° ≤ 𝑥 ≤ 150°}.

Menggunakan Garis Bilangan

Metode ini lebih bergantung pada penentuan sudut-sudut yang menjadi titik acuan atau pembuat nol, kemudian menggunakan garis bilangan untuk mengidentifikasi area yang memenuhi pertidaksamaan. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Tentukan akar-akarnya atau sudut-sudut yang menjadi pembuat nol. Kamu perlu menyusun kembali persamaan agar bisa menemukan titik-titik ini.
  2. Tempatkan akar-akarnya pada garis bilangan dan tentukan apakah area di antaranya positif atau negatif.
  3. Sesuaikan tanda positif atau negatif dengan pertidaksamaan yang diminta. Jika pertidaksamaan mengindikasikan “lebih besar”, cari area yang positif. Jika “lebih kecil”, cari area yang negatif.
  4. Dari tanda-tanda yang ditentukan, tentukan himpunan penyelesaiannya.

Misalnya, untuk pertidaksamaan sin 2𝑥 < cos 𝑥 dalam rentang 0° hingga 360°, kamu perlu menyusun ulang persamaan dan menemukan akar-akarnya. Setelah menyederhanakan persamaan, kamu bisa menempatkan sudut-sudut tersebut pada garis bilangan dan menentukan daerah yang memenuhi kondisi pertidaksamaan.

Contoh Soal dan Pembahasannya

Berikut adalah beberapa contoh soal pertidaksamaan trigonometri untuk membantu kamu memahami konsep ini:

Contoh Soal 1

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan sin 𝑥 > 0 untuk rentang 0° hingga 360° adalah:

A. {60° ≤ 𝑥 ≤ 300°}

B. {0° ≤ 𝑥 < 90° atau 180° < 𝑥 ≤ 360°}

C. {0° ≤ 𝑥 ≤ 180°}

D. {45° ≤ 𝑥 < 220°}

E. {45° + k.360° < 𝑥 < 45° + k.360°, untuk (k) bilangan bulat}

Jawaban yang benar adalah C. {0° ≤ 𝑥 ≤ 180°}. Grafik sin 𝑥 berada di atas sumbu x antara 0° dan 180°, menunjukkan bahwa sin 𝑥 lebih besar dari 0 dalam rentang tersebut.

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan cos 𝑥 sin 𝑥 > 0 dalam rentang 0° hingga 270°.

Jawabannya adalah:

0° hingga 90° atau 180° hingga 270°.

Baca juga: Macam-macam dan Rumus Geometri

Scroll to Top