Daftar Isi

Dalil L’Hôpital adalah salah satu teorema yang sering digunakan dalam kalkulus untuk menyelesaikan limit fungsi yang menghasilkan bentuk tak tentu, seperti bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ . Teorema ini dinamai sesuai dengan ahli matematika Prancis, Guillaume François Antoine, Marquis de l’Hôpital, yang pertama kali mempublikasikannya pada tahun 1696 dalam bukunya yang berjudul “Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes“.

Definisi Dalil L’Hôpital

Dalil L’Hôpital memberikan cara yang efisien untuk menyelesaikan limit dari bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ . Secara umum, jika terdapat fungsi-fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ yang dapat diturunkan pada interval terbuka yang mengandung suatu bilangan real $c$ (kecuali mungkin pada titik $c$ itu sendiri), maka jika limit dari $\frac{f(x)}{g(x)}$ saat $x$ mendekati $c$ adalah $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ , maka limit dari rasio fungsi-fungsi tersebut adalah sama dengan limit dari rasio turunan mereka, yaitu:

\lim_{{x \to c}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to c}} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Baca juga: Apa itu Persamaan Trigonometri?

Formula Dalil L’Hôpital

Jika limit dari rasio dua fungsi adalah $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ , maka kita dapat mengaplikasikan Dalil L’Hôpital dengan langkah-langkah sebagai berikut:

– Tentukan limit dari rasio dua fungsi tersebut.
– Turunkan kedua fungsi tersebut.
– Hitung limit dari rasio turunan kedua fungsi.

Cara Penyelesaian dengan Dalil L’Hôpital

Mari kita lihat contoh penerapan Dalil L’Hôpital dalam menyelesaikan limit:

Contoh:

Hitung limit $\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x}$ .

Penyelesaian:

Langkah pertama, tentukan limit dari rasio $\frac{\sin(x)}{x}$ . Kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ saat $x$ mendekati $0$ .

Langkah kedua, turunkan fungsi $\sin(x)$ dan $x$ , kita dapatkan $\cos(x)$ dan $1$ .

Langkah ketiga, hitung limit dari rasio turunan kedua fungsi, yaitu $\lim_{{x \to 0}} \frac{\cos(x)}{1}$ , yang hasilnya adalah $1$ .

Jadi, $\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ .

Contoh Soal Menggunakan Dalil L’Hôpital

Berikut adalah contoh soal lain yang dapat diselesaikan menggunakan Dalil L’Hôpital:

Contoh:

Hitung limit $\lim_{{x \to \infty}} \frac{e^x}{x}$ .

Penyelesaian:

Langkah pertama, tentukan limit dari rasio $\frac{e^x}{x}$ . Kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{\infty}{\infty}$ saat $x$ mendekati $\infty$ .

Langkah kedua, turunkan fungsi $e^x$ dan $x$ , kita dapatkan $e^x$ dan $1$ .

Langkah ketiga, hitung limit dari rasio turunan kedua fungsi, yaitu $\lim_{{x \to \infty}} \frac{e^x}{1}$ , yang hasilnya adalah $\infty$ .

Jadi, $\lim_{{x \to \infty}} \frac{e^x}{x} = \infty$ .

Kesimpulan

Dalil L’Hôpital adalah alat yang sangat berguna dalam menyelesaikan limit yang menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ . Dengan memahami definisi, formula, dan cara penyelesaiannya, kamu dapat dengan mudah menyelesaikan berbagai masalah dalam kalkulus yang melibatkan limit fungsi. Dengan berlatih lebih banyak pada contoh soal, kamu akan semakin mahir dalam menerapkan Dalil L’Hôpital dalam pemecahan masalah matematika.