Persamaan Trigonometri: Rumus & Contoh Soal

Persamaan trigonometri adalah bagian penting dari matematika yang sering digunakan dalam berbagai aplikasi sains dan teknik. Konsep ini terkait dengan fungsi-fungsi seperti sinus, cosinus, dan tangen, yang memiliki sifat periodik. Dalam artikel ini, kita akan mengeksplorasi persamaan trigonometri secara mendalam, mencakup definisi, rumus, cara penyelesaian, dan beberapa contoh soal untuk membantu kamu memahami konsep ini dengan lebih baik.

Apa Itu Persamaan Trigonometri?

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri, seperti sin, cos, dan tan. Persamaan ini bisa muncul dalam berbagai bentuk, misalnya:

  • sin(x)=0
  • cos(x)=cos(y)
  • tan(x)=k

Jika kamu menemukan persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri, maka itu bisa dikategorikan sebagai persamaan trigonometri. Namun, jika persamaan tersebut mencakup fungsi lain seperti logaritma atau aljabar, maka itu tidak lagi dianggap sebagai persamaan trigonometri.

Baca selengkapnya: Sifat Trigonometri Sinus, Cosinus & Tangen

Solusi Prinsipal dan Solusi Umum

Ada dua jenis solusi dalam persamaan trigonometri: solusi prinsipal dan solusi umum.

Solusi Prinsipal

Solusi prinsipal adalah himpunan solusi yang berada dalam interval tertentu, umumnya antara 0 dan 2π. Misalnya, jika kita memiliki persamaan cos(x)=1, solusi prinsipal dalam interval 0 hingga 2π adalah x=0. Ini karena fungsi cosinus memiliki nilai 1 pada sudut 0, sedangkan nilai pada 360º (atau 2π) tidak termasuk dalam solusi prinsipal karena terletak pada batas atas interval.

Solusi Umum

Solusi umum adalah semua nilai yang memenuhi persamaan trigonometri, termasuk di luar interval 0 hingga 2π. Karena sifat periodik dari fungsi trigonometri, solusi umum bisa memiliki banyak jawaban. Sebagai contoh, dalam persamaan sin(x)=0, solusi umum mencakup nilai-nilai seperti 0, π, 2π, dan seterusnya.

Rumus Persamaan Trigonometri

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, kamu perlu memahami beberapa rumus penting. Rumus-rumus ini membantu kamu mengidentifikasi solusi dan menyederhanakan persamaan. Beberapa rumus dasar yang perlu kamu ketahui antara lain:

  • Solusi Umum untuk sin(x)=sin(α):
    • x=α+360k
    • x=(180−α)+360k
  • Solusi Umum untuk cos(x)=cos(α):
    • x=α+360k
    • x=−α+360k
  • Solusi Umum untuk tan(x)=tan(α):
    • x=α+180k

Di sini, 𝑘k adalah bilangan bulat, menunjukkan bahwa solusi trigonometri bersifat periodik. Misalnya, solusi umum untuk persamaan sin(x)=0 adalah x=180k, di mana 𝑘k bisa bernilai 0, 1, 2, dan seterusnya.

Baca juga: Rumus Pertidaksamaan Trigonometri & Contoh Soalnya

Cara Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, kamu bisa mengikuti beberapa langkah sederhana:

  • Sederhanakan Persamaan
    Gunakan identitas trigonometri dan manipulasi aljabar untuk menyederhanakan persamaan menjadi bentuk yang lebih mudah dipahami. Contohnya, kamu bisa menggunakan identitas seperti sin2(x)+cos2(x)=1 untuk menyederhanakan persamaan.

  • Temukan Solusi Prinsipal
    Jika diminta mencari solusi dalam interval tertentu, carilah solusi yang sesuai dengan batas tersebut. Misalnya, jika diminta menemukan solusi antara 0 dan 2π, pastikan solusi yang kamu dapatkan berada dalam interval itu.

  • Gunakan Rumus Solusi Umum
    Jika diminta mencari solusi umum, gunakan rumus solusi umum untuk menentukan semua kemungkinan nilai yang memenuhi persamaan.

Contoh Soal dan Pembahasan

Mari kita lihat contoh soal untuk memperdalam pemahaman tentang persamaan trigonometri.

Contoh Soal 1: Mencari Solusi Prinsipal

Tentukan solusi prinsipal dari persamaan sin(x)=0.5 dalam interval 0 hingga 2π.

Jawaban

Untuk mencari solusi prinsipal, kamu perlu menentukan sudut yang menghasilkan sin(x)=0.5. Kamu mungkin tahu bahwa sin(30º)=0.5. Karena kita bekerja dalam radian, kita perlu mengonversi 30º ke radian, yaitu 0.5236 radian.

Namun, kita perlu mencari solusi dalam interval 0 hingga 2π, jadi kita harus mencari sudut lain dalam interval yang juga menghasilkan nilai yang sama.

Dengan bantuan grafik, kita dapat melihat bahwa solusi lain dalam interval 0 hingga 2π adalah sin(150º)=0.5. 150º dalam radian adalah 2.6179.

Jadi solusi prinsipal dari persamaan sin(x)=0.5 dalam interval 0 hingga 2π adalah 𝑥=0.5236 dan 𝑥=2.6179.

Contoh Soal 2: Mencari Solusi Umum

Berapa solusi umum dari persamaan cos⁡(𝑥)=−0.5?

Jawaban

Untuk mencari solusi umum, kita bisa menggunakan rumus solusi umum untuk cosinus. Solusi umum untuk persamaan cos⁡(𝑥)=cos⁡(𝛼) adalah:

  • 𝑥=120º+360𝑘x
  • 𝑥=−120º+360𝑘

Pertama-tama, kita cari nilai α yang menghasilkan cos⁡(𝛼)=−0.5. Kamu bisa ingat bahwa cos⁡(120º)=−0.5. Dengan demikian, solusi umum untuk persamaan ini adalah:

  • 𝑥=120º+360𝑘
  • 𝑥=−120º+360𝑘

Jika kamu ingin hasil dalam radian, kamu bisa mengonversi 120º ke radian, yaitu 2.0944 radian.

Jadi, solusi umum untuk persamaan cos⁡(𝑥)=−0.5 adalah:

  • 𝑥=2.0944+2𝜋𝑘
  • 𝑥=−2.0944+2𝜋𝑘

Kesimpulan

Persamaan trigonometri adalah topik yang menarik dan penting dalam matematika. Dengan memahami konsep dasar, rumus, dan cara penyelesaian, kamu dapat mengatasi berbagai soal trigonometri. Ingatlah untuk selalu menyederhanakan persamaan, mencari solusi prinsipal jika diperlukan, dan menggunakan rumus solusi umum untuk solusi yang lebih luas. Semoga artikel ini membantu kamu memahami persamaan trigonometri dengan lebih baik.

Scroll to Top