Pernah nggak sih kamu bingung kenapa urutan bisa bikin hasil hitungan jadi berbeda jauh? Padahal orangnya sama, bendanya sama, tapi begitu posisinya ditukar, jawabannya langsung berubah.
Nah, dari situlah permutasi punya peran. Materi ini sering muncul di kelas 12 SMA. Kabarnya, materi permutasi diam-diam jadi penentu nilai lho. Kelihatannya sederhana, tapi jebakannya banyak!
Tenang, kamu nggak sendirian. Di artikel ini, kita bakal bahas pelan-pelan apa itu permutasi peluang. Mulai dari pengertian dasar, jenis-jenisnya, sampai rumus permutasi yang sering dipakai di soal ujian.
Semua dibahas dengan bahasa yang ringan, contoh yang dekat dengan kehidupan sehari-hari, dan tentu saja lengkap supaya kamu benar-benar paham, bukan sekadar hafal rumus.
Pengertian Permutasi dalam Teori Peluang
Secara sederhana, permutasi adalah cara menyusun beberapa unsur dengan memperhatikan urutan. Jadi, kalau urutannya berbeda, maka susunannya juga dianggap berbeda. Inilah perbedaan paling penting antara permutasi dan kombinasi yang sering tertukar oleh siswa.
Dalam konteks peluang, permutasi digunakan untuk menghitung banyaknya susunan atau kemungkinan kejadian yang mungkin terjadi ketika posisi atau urutan punya pengaruh. Contohnya seperti susunan tempat duduk, urutan juara lomba, susunan angka sandi, hingga penempatan jabatan dalam organisasi.
Konsep Dasar Faktorial yang Wajib Dipahami
Sebelum masuk ke rumus permutasi, ada satu konsep penting yang harus kamu kuasai, yaitu faktorial. Faktorial dilambangkan dengan tanda seru (!).
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1
Contoh:
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
Faktorial ini menjadi dasar hampir semua permutasi rumus yang akan kita bahas selanjutnya.
5 Jenis Permutasi dalam Peluang
Supaya kamu nggak salah pilih rumus saat mengerjakan soal, penting banget untuk mengenali jenis-jenis permutasi berikut ini. Setiap jenis punya ciri dan penggunaan yang berbeda, tergantung kondisi soalnya.
1. Permutasi dari n Unsur Berbeda
Permutasi dari n unsur berbeda digunakan ketika semua unsur yang tersedia berbeda satu sama lain dan seluruh unsur tersebut harus disusun. Tidak ada unsur yang diulang dan tidak ada juga yang dikeluarkan dari susunan.
Rumusnya sangat sederhana karena setiap posisi selalu memiliki pilihan yang berbeda:
P(n,n) = n!
Cara membayangkannya begini: jika ada n unsur, maka posisi pertama bisa diisi oleh n pilihan, posisi kedua tinggal (n−1) pilihan, lalu (n−2), dan seterusnya sampai posisi terakhir.
Jenis permutasi ini sering muncul pada soal susunan orang, benda, atau simbol yang semuanya unik, misalnya menyusun beberapa siswa berbeda ke dalam kursi yang jumlahnya sama.
2. Permutasi r Unsur dari n Unsur
Permutasi r unsur dari n unsur digunakan ketika objek yang tersedia banyak, tetapi hanya sebagian yang akan disusun, dan yang paling penting: urutan tetap diperhatikan. Jadi, tidak semua unsur harus digunakan.
Rumus yang dipakai adalah:
P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
Cara memahaminya: kamu hanya fokus pada r posisi pertama. Posisi pertama punya n pilihan, posisi kedua (n−1), dan seterusnya sampai r posisi. Sisa unsur yang tidak dipakai tidak ikut dihitung.
Jenis permutasi ini sering muncul pada soal pemilihan jabatan seperti ketua, wakil, dan sekretaris, atau penentuan juara lomba. Perlu diingat, jika urutannya ditukar, maka susunannya dianggap berbeda.
3. Permutasi Unsur yang Sama
Pada jenis ini, kamu perlu ekstra hati-hati. Permutasi unsur yang sama digunakan ketika dalam suatu susunan terdapat unsur yang identik atau sama persis, sehingga tidak semua susunan yang terlihat berbeda benar-benar berbeda secara matematis. Inilah sumber kesalahan paling sering terjadi pada siswa.
Jika rumus permutasi biasa langsung digunakan, hasil perhitungan akan terlalu besar karena ada susunan yang sebenarnya sama tetapi terhitung lebih dari sekali. Oleh karena itu, diperlukan pembagian dengan faktorial dari unsur yang berulang agar hitungannya adil dan tidak ganda.
Nah, di sinilah banyak siswa mulai keliru. Kalau dalam suatu susunan terdapat unsur yang sama, maka hasil permutasinya tidak boleh dihitung seperti biasa karena akan ada susunan yang terhitung berulang.
Rumus permutasi unsur yang sama adalah:
P = \frac{n!}{k_1! \times k_2! \times \dots \times k_t!}
Jenis ini sering disebut juga permutasi unsur yang sama, misalnya pada penyusunan huruf dalam sebuah kata.
4. Permutasi Siklis (Melingkar)
Permutasi siklis digunakan ketika susunan objek membentuk lingkaran, bukan barisan lurus. Pada susunan melingkar, posisi awal tidak dianggap berbeda karena susunannya bisa diputar dan tetap terlihat sama.
Rumus yang digunakan adalah:
P_{siklis} = (n-1)!
Angka satu dikurangi karena satu posisi dijadikan patokan tetap, lalu sisa unsur lainnya disusun mengelilinginya. Jenis ini sangat sering muncul pada soal duduk mengelilingi meja bundar atau pengaturan posisi dalam lingkaran.
5. Permutasi Berulang
Permutasi berulang digunakan ketika setiap unsur boleh digunakan lebih dari satu kali dalam satu susunan. Artinya, pilihan pada satu posisi tidak memengaruhi pilihan di posisi lainnya.
Rumus yang digunakan adalah:
P = n^k
Maknanya, setiap dari k posisi selalu memiliki n pilihan yang sama. Jenis permutasi ini sering muncul pada soal sandi angka, kode PIN, atau kombinasi karakter yang boleh berulang.
Contoh Penerapan Permutasi dalam Kehidupan Sehari-hari
Permutasi bukan cuma soal angka di kertas. Dalam kehidupan sehari-hari, tanpa sadar kamu sering berhadapan dengan situasi yang melibatkan urutan.
Misalnya, saat ada tiga siswa bernama Andi, Budi, dan Citra yang memperebutkan juara 1, 2, dan 3. Susunan Andi–Budi–Citra jelas berbeda dengan Budi–Andi–Citra, walaupun orangnya sama. Urutan inilah yang membuat hasil perhitungannya berubah.
Contoh lain yang lebih dekat lagi adalah PIN ATM. Kode 1234 tentu berbeda dengan 4321, meskipun terdiri dari angka yang sama.
Intinya, kalau urutan membuat hasilnya berbeda, berarti itu permutasi. Dengan contoh-contoh tersebut, kamu bisa melihat bahwa Matematika sebenarnya dekat dan sering kamu temui sehari-hari.
Rangkuman Singkat Materi Permutasi
- Permutasi adalah susunan dengan urutan yang diperhatikan
- Faktorial menjadi dasar utama perhitungan permutasi
- Ada beberapa jenis permutasi sesuai kondisi soal
- Permutasi unsur yang sama membutuhkan pembagi faktorial
- Permutasi siklis digunakan untuk susunan melingkar
- Permutasi berulang memungkinkan unsur dipakai lebih dari sekali
10 Contoh Soal Permutasi Peluang & Jawabannya
Berikut ini contoh soal cerita permutasi yang tingkat kesulitannya lebih tinggi dan bersifat menjebak. Setiap soal dilengkapi dengan pembahasan rinci agar alur berpikirnya mudah diikuti.
Soal 1
Dalam sebuah kelas terdapat 6 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan. Mereka akan duduk berjajar dalam satu baris dengan syarat kedua ujung barisan harus ditempati oleh siswa laki-laki. Berapa banyak susunan tempat duduk yang mungkin?
Jawaban:
Karena kedua ujung harus ditempati siswa laki-laki, maka pertama-tama kita pilih 2 siswa laki-laki dari 6 siswa untuk menempati posisi ujung kiri dan kanan. Urutan posisi ujung juga diperhatikan.
Banyak cara memilih dan menyusun 2 siswa laki-laki di ujung adalah:
P(6,2) = 6 \times 5 = 30
Setelah posisi ujung terisi, tersisa 4 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan, total 8 siswa, yang akan mengisi 8 kursi di tengah.
Banyak susunan untuk 8 siswa tersebut adalah:
8! = 40320
Total susunan yang mungkin:
30 \times 40320 = 1.209.600
Soal 2
Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “STATISTIKA” jika huruf vokal harus selalu berdampingan?
Jawaban:
Kata “STATISTIKA” memiliki 10 huruf dengan rincian: S = 2, T = 3, A = 2, I = 2, K = 1
Huruf vokal adalah A dan I, total 4 huruf vokal. Karena semua vokal harus berdampingan, kita anggap keempat vokal tersebut sebagai satu blok.
Sekarang yang disusun adalah 1 blok vokal + S(2), T(3), K(1), total 7 objek dengan pengulangan.
Banyak susunan objek tersebut:
\frac{7!}{2!3!}
Di dalam blok vokal sendiri, terdapat 2 huruf A dan 2 huruf I sehingga banyak susunannya:
\frac{4!}{2!2!}
Total susunan:
\frac{7!}{2!3!} \times \frac{4!}{2!2!} = 2520
Soal 3
Empat pasangan suami istri akan duduk melingkar di sebuah meja bundar. Setiap pasangan harus duduk berdampingan. Berapa banyak susunan tempat duduk yang mungkin?
Jawaban:
Karena setiap pasangan harus berdampingan, maka setiap pasangan kita anggap sebagai satu blok. Terdapat 4 blok pasangan.
Karena duduk melingkar, banyak susunan blok adalah:
\displaystyle (4-1)! = 3! = 6
Di dalam setiap pasangan, posisi suami dan istri bisa ditukar, sehingga setiap pasangan memiliki 2 susunan.
Total susunan:
6 \times 2^4 = 96
Soal 4
Sebuah sandi terdiri dari 5 digit yang dibentuk dari angka 0–9. Sandi tersebut harus diawali dengan angka ganjil dan tidak boleh ada angka yang berulang. Berapa banyak sandi yang mungkin?
Jawaban:
Angka ganjil dari 0–9 adalah 1, 3, 5, 7, dan 9, sehingga ada 5 pilihan untuk digit pertama.
Setelah satu angka dipilih, tersisa 9 angka berbeda untuk mengisi 4 digit berikutnya tanpa pengulangan.
Banyak susunan 4 digit dari 9 angka adalah:
P(9,4) = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024
Total sandi:
5 \times 3024 = 15120
Soal 5
Dari 5 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan akan dipilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris dengan syarat minimal terdapat satu siswa perempuan. Berapa banyak susunan pengurus yang mungkin?
Jawaban:
Pertama, hitung semua kemungkinan tanpa syarat. Total siswa ada 10 dan posisi ada 3.
P(10,3) = 720
Selanjutnya, hitung susunan yang tidak memenuhi syarat, yaitu semua posisi diisi oleh siswa laki-laki.
P(5,3) = 60
Maka susunan yang memenuhi syarat:
720 - 60 = 660
Soal 6
Berapa banyak bilangan 6 digit yang dapat dibentuk dari angka 1–7 jika angka 7 harus muncul tepat dua kali?
Jawaban:
Langkah pertama adalah memilih 2 posisi dari 6 posisi untuk ditempati angka 7
\binom{6}{2} = 15
Sisa 4 posisi diisi oleh angka 1–6 tanpa batasan pengulangan.
Banyak cara mengisi 4 posisi tersebut:
6^4 = 1296
Total bilangan yang mungkin:
15 \times 1296 = 19440
Soal 7
Tujuh orang akan duduk melingkar. Dua orang tertentu tidak boleh duduk berdampingan. Berapa banyak susunan yang mungkin?
Jawaban:
Pertama, hitung semua susunan duduk melingkar tanpa syarat:
\displaystyle (7-1)! = 6! = 720
Sekarang hitung susunan di mana dua orang tertentu duduk berdampingan. Anggap keduanya sebagai satu blok.
Jumlah blok menjadi 6, sehingga susunannya:
\displaystyle (6-1)! = 5! = 120
Di dalam blok, kedua orang bisa bertukar tempat, sehingga dikali 2.
Susunan berdampingan:
120 \times 2 = 240
Maka susunan yang memenuhi syarat:
720 - 240 = 480
Soal 8
Berapa banyak susunan huruf dari kata “MATEMATIKA” jika tidak boleh ada dua huruf vokal yang berdampingan?
Jawaban:
Kata “MATEMATIKA” memiliki 10 huruf dengan vokal A(3), E(1), I(1) dan konsonan M(2), T(2), K(1).
Jumlah konsonan ada 5, sehingga tersedia 6 celah untuk menempatkan vokal.
Pilih 5 dari 6 celah untuk diisi vokal:
\binom{6}{5} = 6
Susunan vokal:
\frac{5!}{3!} = 20
Susunan konsonan:
\frac{5!}{2!2!} = 30
Total susunan:
6 \times 20 \times 30 = 3600
Soal 9
Dalam sebuah lomba terdapat 8 peserta. Akan dipilih juara 1, 2, dan 3 dengan syarat juara 1 dan juara 2 tidak boleh berasal dari klub yang sama. Jika terdapat 5 peserta dari klub A dan 3 dari klub B, berapa banyak susunan juara yang mungkin?
Jawaban:
Kasus yang memenuhi syarat adalah: Juara 1 dari klub A dan juara 2 dari klub B, atau sebaliknya.
Kasus 1: Juara 1 dari A dan juara 2 dari B
5 \times 3
Juara 3 bisa dipilih dari sisa 6 peserta:
6
Total kasus 1:
5 \times 3 \times 6 = 90
Kasus 2: Juara 1 dari B dan juara 2 dari A
3 \times 5 \times 6 = 90
Total keseluruhan:
90 + 90 = 180
Soal 10
Sebuah perusahaan akan menyusun 6 pegawai berbeda dalam satu barisan foto. Dua pegawai tertentu harus berada di posisi tengah dan tidak boleh berdampingan. Berapa banyak susunan yang mungkin?
Jawaban:
Posisi tengah dalam barisan 6 orang adalah posisi ke-3 dan ke-4. Dua pegawai tertentu harus menempati dua posisi tersebut.
Banyak cara menyusun dua pegawai di posisi tengah:
2! = 2
Namun karena mereka tidak boleh berdampingan, susunan ini tidak mungkin. Artinya, tidak ada susunan yang memenuhi syarat.
Jadi, banyak susunan yang mungkin adalah:
0
Baca juga: