Dalam kehidupan sehari-hari, ternyata ada banyak hal yang sebenarnya bisa diprediksi peluangnya. Misal, peluang seorang striker mencetak gol dalam pertandingan, atau peluang munculnya angka ketika melempar dadu. Meskipun terlihat acak, ternyata semua itu bisa dihitung dengan bantuan konsep peluang binomial.
Distribusi binomial bukan hanya sekadar teori di atas kertas. Konsep ini menjadi dasar dalam banyak bidang seperti statistik, data science, hingga analisis bisnis. Menariknya lagi, kamu sudah sering melakukannya tanpa sadar, misalnya saat bertaruh apakah koin akan jatuh di sisi gambar atau angka. Jadi, mari kita bahas lebih dalam apa sebenarnya distribusi binomial itu.
Pengertian Distribusi Binomial
Distribusi binomial adalah distribusi peluang yang digunakan untuk menghitung probabilitas dari suatu percobaan yang hanya memiliki dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal. Misalnya, pada pelemparan koin, hasil yang mungkin hanyalah gambar (sukses) atau angka (gagal).
Dalam distribusi binomial, kita membicarakan variabel acak binomial, yaitu jumlah sukses dari sejumlah percobaan tertentu. Misalnya, jika koin dilempar 10 kali, variabel acak binomial dapat berupa jumlah gambar yang muncul. Dengan kata lain, variabel acak binomial menghitung seberapa sering hasil yang diharapkan muncul dalam beberapa kali percobaan.
Syarat Percobaan Binomial
Agar suatu percobaan dapat disebut binomial, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi:
- Percobaan dilakukan berulang-ulang.
- Setiap percobaan bersifat independen (hasil satu percobaan tidak memengaruhi percobaan lainnya).
- Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal.
- Peluang sukses (p) dan peluang gagal (q) tetap untuk setiap percobaan.
Contoh sederhana adalah pelemparan koin. Jika kamu melempar koin 5 kali, peluang muncul gambar pada setiap pelemparan selalu 0,5, tidak peduli bagaimana hasil lemparan sebelumnya. Itulah yang membuatnya masuk dalam kategori percobaan binomial.
Baca juga: Rumus Peluang Kejadian Bersyarat, Contoh Soal & Jawabannya
Rumus Distribusi Binomial
Untuk menghitung peluang binomial, digunakan rumus berikut:
P(X = x) = \binom{n}{x} p^x q^{(n-x)}
Dengan keterangan:
- P(X = x) = peluang mendapatkan tepat x keberhasilan
- n = jumlah percobaan
- x = jumlah keberhasilan yang diharapkan
- p = peluang sukses
- q = 1 - p = peluang gagal
Rumus Kumulatif
Selain itu, untuk menghitung peluang kumulatif (paling banyak x kali sukses), digunakan rumus:
P(X \leq x) = \sum_{k=0}^{x} \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}
Rumus ini menjumlahkan peluang dari keberhasilan 0 kali, 1 kali, 2 kali, hingga x kali. Sangat berguna jika yang ditanyakan adalah peluang “paling banyak” atau “setidaknya”.
Contoh Penerapan Distribusi Binomial
Distribusi binomial sering ditemui dalam berbagai konteks kehidupan nyata, misalnya:
- Misalkan seorang pemain bola memiliki peluang 0,6 untuk mencetak gol setiap kali menendang penalti. Jika ia melakukan 5 tendangan, kita bisa menggunakan distribusi binomial untuk menghitung peluang ia mencetak tepat 3 gol. Dengan kata lain, kita ingin tahu seberapa besar kemungkinan sukses 3 kali dari 5 percobaan, dengan p = 0,6.
- Bayangkan seorang siswa menghadapi 10 soal pilihan ganda. Peluang menjawab benar setiap soal adalah 0,7. Jika ditanyakan peluang siswa menjawab benar minimal 7 soal, maka kita menghitung peluang kumulatif dari 7, 8, 9, hingga 10 jawaban benar. Inilah penerapan nyata dari rumus distribusi binomial kumulatif.
- Pada pelemparan dadu, hasil yang mungkin memang ada 6. Namun kita bisa membuat kasus menjadi biner, misalnya “angka genap” sebagai sukses dan “angka ganjil” sebagai gagal. Karena peluang angka genap adalah 3/6 = 0,5, maka dalam 8 kali lemparan dadu kita bisa menghitung peluang munculnya angka genap sejumlah tertentu menggunakan rumus distribusi binomial.
Semua kasus ini bisa dihitung dengan rumus distribusi binomial karena memenuhi syarat: berulang, independen, hasil dua kemungkinan, dan peluang tetap.
Rangkuman
- Distribusi binomial menghitung peluang sukses dari percobaan dengan dua kemungkinan.
- Syarat distribusi binomial: percobaan berulang, independen, peluang tetap, hasil hanya sukses/gagal.
- Rumus utama: P(X=x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}.
- Bisa digunakan untuk berbagai perhitungan peluang di kehidupan nyata.
Contoh Soal Distribusi Binomial & Jawabannya
Sebuah koin dilempar 6 kali. Berapa peluang muncul gambar tepat 4 kali?P(X=4) = \binom{6}{4} (0.5)^4 (0.5)^2 = 15 \times 0.0625 \times 0.25 = 0.234
Seorang siswa menjawab 10 soal pilihan ganda dengan peluang benar 0,7. Berapa peluang dia menjawab benar 8 soal?
P(X=8) = \binom{10}{8} (0.7)^8 (0.3)^2 = 45 \times 0.05765 \times 0.09 = 0.233
Dalam 5 kali lemparan dadu, peluang muncul angka 6 sebanyak 2 kali
P(X=2) = \binom{5}{2} (\tfrac{1}{6})^2 (\tfrac{5}{6})^3 = 10 \times 0.0277 \times 0.578 = 0.160
Jika peluang menang sebuah permainan adalah 0,3, berapa peluang menang 3 kali dari 7 permainan?
P(X=3) = \binom{7}{3} (0.3)^3 (0.7)^4 = 35 \times 0.027 \times 0.2401 = 0.227
Dalam 8 kali percobaan, peluang sukses tiap percobaan adalah 0,4. Hitung peluang sukses 5 kali!
P(X=5) = \binom{8}{5} (0.4)^5 (0.6)^3 = 56 \times 0.01024 \times 0.216 = 0.124
Seorang atlet menendang penalti 4 kali dengan peluang gol 0,75. Tentukan peluang dia mencetak 3 gol!
P(X=3) = \binom{4}{3} (0.75)^3 (0.25)^1 = 4 \times 0.422 \times 0.25 = 0.422
Peluang seorang anak lahir laki-laki adalah 0,5. Berapa peluang dalam 5 kelahiran terdapat 2 anak laki-laki?
P(X=2) = \binom{5}{2} (0.5)^2 (0.5)^3 = 10 \times 0.25 \times 0.125 = 0.313
Seorang siswa menebak jawaban benar pada soal pilihan ganda dengan 4 opsi. Dari 12 soal, peluang tepat 3 jawaban benar?
P(X=3) = \binom{12}{3} (0.25)^3 (0.75)^9 = 220 \times 0.0156 \times 0.075 = 0.257
Dalam 9 kali pelemparan koin, tentukan peluang muncul gambar paling banyak 2 kali!
P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2)
= {9 \choose 0}(0.5)^9 + {9 \choose 1}(0.5)^9 + {9 \choose 2}(0.5)^9
= (1+9+36)(0.5)^9 = 46 \times 0.00195 = 0.0898
Seorang pemain basket memiliki peluang 0,6 memasukkan bola setiap lemparan. Dalam 5 kali lemparan, berapa peluang dia berhasil 4 kali?
P(X=4) = \binom{5}{4} (0.6)^4 (0.4)^1 = 5 \times 0.1296 \times 0.4 = 0.259
Baca juga: